我试着逐一回答。
从东京到京都，可以在东京站乘坐开往新大阪、广岛、箱根的“小望”新干线，免费座位(有指定车号，一般1-3号)，发车间隔10-15分钟。你可以坐任何火车，通常有座位，没有座位也可以站着。票价13080日元，可在车站“绿窗”售票处或自动售票机购票。驾驶时间通常为2小时18分钟。
从京都到奈良。建议乘坐近轨京都线到京都站杉川神社前。先到大和大西寺(3站)，再换乘近轨奈良(2站)，票价1130日元，总时间56分钟。有许多火车。从附近的火车奈良站步行到景区不远。
从奈良到大阪。从奈良站乘坐附近的铁路，开往米奈特-大阪，直接到达，无需换乘。票价560日元，时间41分钟。只是到了海啸，想去别的地方就需要换乘其他轨道交通，比如美田。票价一般在200-250日元左右。
大阪到镰仓没有直达路线。建议乘坐新干线从新干线到东京或小望，票价为13620日元。时间：2小时28分钟。到达东京后，换乘JR线到镰仓。票价是920日元，时间是一个小时。我回来也是这样。
建议找一张日本交通路线图，这样可以有方向感。